Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведены
высота CH, биссектриса CK и медиана CM. Известно, что HK = 3 и
KM = 5. Найдите стороны треугольника ABC и длину биссектрисы CK.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AB = a, AC = b, BC = c.

Так как HK = 3, то площади треугольников AHK и CHK равны. Поэтому,

(1/2) a 3 = (1/2) b HC
a = 3b/HC

Так как KM = 5, то площади треугольников AKM и CKM равны. Поэтому,

(1/2) a 5 = (1/2) c MC
a = 5c/MC

Отсюда получаем, что 3b/HC = 5c/MC. Далее, используя свойство биссектрисы, имеем

b/HC = c/CK
b/3 = c/CK

Таким образом, мы получили систему уравнений:

a = 3b/HC
a = 5c/MC
b/3 = c/CK

Заметим, что из этих уравнений выражение для a у нас уже есть:

a = 3b/HC

Теперь подставляем это выражение в уравнения для b и c:

3b/HC = 5c/(5 - MK)
b/3 = c/CK

Отсюда находим, что b = 9 и c = 6.

Теперь найдем длину биссектрисы CK. Используем формулу для длины биссектрисы:

CK^2 = ab((a + b)^2 - c^2)/(a + b)^2

CK = 9√6/15