К окружности с внешней стороны пририсованы 6 одинаковых
фрагментов графика функции 2
y  x при x  2; 2 так, что
точка окончания одного фрагмента совпадает с точкой начала
другого, а сами точки начал и окончаний лежат на окружности.
Во сколько раз площадь фигуры, ограниченной многоугольником, полученным соединением вершин всех соседних фрагментов, больше площади круга, границей которого является исходная окружность?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь фигуры, ограниченной многоугольником, полученным соединением вершин всех соседних фрагментов, можно найти как сумму площадей треугольников, образованных каждым отрезком на окружности и осью x.

Обозначим радиус окружности как R. Площадь одного треугольника можно найти как половину произведения высоты (2) на длину основания (длина отрезка на окружности). Длина отрезка на окружности равна длине дуги, что равно длине окружности умноженной на долю, которую занимает отрезок на окружности. Так как отрезков 6, каждый отрезок занимает 1/6 окружности.

Таким образом, длина отрезка на окружности равна 2 π R / 6 = π * R / 3.

Следовательно, площадь одного треугольника равна 2 1/2 2 π R / 3 = 2 π R / 3.

Так как всего 6 таких треугольников, общая площадь фигуры равна 6 2 π R / 3 = 4 π * R.

Площадь круга с радиусом R равна π * R^2.

Итак, площадь фигуры, ограниченной многоугольником, полученным соединением вершин всех соседних фрагментов, в 4 раза больше площади круга, границей которого является исходная окружность.