Определить собственные значения и собственные векторы матрицы
третьего порядка.
2 -1 0
1 2 4
1 1 1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения собственных значений и векторов матрицы третьего порядка необходимо решить уравнение det(A - λI) = 0, где A - матрица, λ - собственное значение, I - единичная матрица.

Матрица дана:

2 -1 0
1 2 4
1 1 1

Вычислим определитель матрицы A - λI:

|2-λ -1 0 |
| 1 2-λ 4 |
| 1 1 1-λ |

(2-λ) (2-λ) (1-λ) - 1(-11-λ) + 0(11-1) = 0
(2-λ)^2(1-λ) - 1 = 0
(2-λ)^2(1-λ) = 1
(2-λ)^2 = 1/(1-λ)
2-λ = ±√(1/(1-λ))
2 = λ ± √(1/(1-λ))
λ = 2 ± √(1/(1-λ))

Таким образом, собственные значения матрицы A равны:
λ1 = 2 + √(1/(1-2)) = 2 + √(-1) = 2 + i
λ2 = 2 - √(1/(1-2)) = 2 - √(-1) = 2 - i

Теперь найдем собственные векторы, подставляя значения λ обратно в уравнение (A - λI)v = 0:

Для λ1 = 2 + i:
(2 - (2+i))x - 1y = 0
1x + 2y - (2+i)z = 0
1x + 1y + (1-i)z = 0
x = z
y = (2 + i)z = 2z + iz

Собственный вектор для λ1: (z, 2z + iz, z)

Для λ2 = 2 - i:
(2 - (2-i))x - 1y = 0
1x + 2y - (2-i)z = 0
1x + 1y + (1+i)z = 0
x = z
y = (2 - i)z = 2z - iz

Собственный вектор для λ2: (z, 2z - iz, z)

Итак, собственные значения матрицы A: λ1 = 2 + i, λ2 = 2 - i
Собственные векторы матрицы A: (z, 2z + iz, z) и (z, 2z - iz, z)