Докажите, что при верно неравенсто [tex](2sinx +\frac{1}{cosx}) (2cosx+\frac{1}{sinx}) \geq 8[/tex])И х больше или меньше пи деленное на 2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного неравенства найдем произведение данных выражений:

[tex](2\sin x + \frac{1}{\cos x})(2\cos x + \frac{1}{\sin x}) = 4\sin x\cos x + \frac{2\sin x}{\sin x} + \frac{2\cos x}{\cos x} + \frac{1}{\sin x \cos x} = 4\sin 2x + 2 + 2 + \frac{1}{\sin 2x}[/tex]

Теперь заметим, что [tex]\sin 2x[/tex] принимает значения в интервале [-1, 1], а значит, [tex]4\sin 2x \leq 4[/tex]. Аналогично, [tex]\frac{1}{\sin 2x} \geq 1[/tex].

Получаем: [tex]4\sin 2x + 2 + 2 + \frac{1}{\sin 2x} \geq 4 + 2 + 2 + 1 = 9[/tex]

Таким образом, [tex](2\sin x + \frac{1}{\cos x})(2\cos x + \frac{1}{\sin x}) \geq 9 > 8[/tex].

Следовательно, неравенство [tex](2\sin x + \frac{1}{\cos x})(2\cos x + \frac{1}{\sin x}) \geq 8[/tex] неверно.

Так как данное неравенство не выполняется при х, следовательно, х не равно пи деленное на 2.