Докажите, что при любом натуральном n > 2 уравнение xⁿ+yⁿ=zⁿ не имеет решений в целых ненулевых числах.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ имеет решение в целых ненулевых числах для некоторого натурального n > 2.

Так как x, y и z не могут быть равны 0, то можно поделить обе части уравнения на |zⁿ| (|z| > 0), получим (x/z)ⁿ + (y/z)ⁿ = 1.

Обозначим a = x/z и b = y/z. Тогда получаем, что aⁿ + bⁿ = 1.

Поскольку a и b — целые числа, то 0 < a < 1 и 0 < b < 1. Но так как n > 2, то aⁿ и bⁿ < 1, что невозможно при их сумме равной 1.

Таким образом, уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ не имеет решений в целых ненулевых числах при любом натуральном n > 2.