В треугольной пирамиде SABC площадь основания ABC равна 7, а углы ABC,ASB и двугранный угол при ребре AB равны п/2. Рассматриваются проекциипирамиды SABC на всевозможные плоскости, проходящие через прямую АВ.Наибольшая из площадей таких проекций равна 14, а наименьшая площадь равна[tex]4 \sqrt{3 } [/tex]3. Найти объем пирамиды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим высоту пирамиды через h, а сторону основания через a. Так как угол ASB равен π/2, то площадь проекции пирамиды на плоскость, проходящую через прямую AB равна половине произведения основания на высоту: S = 1/2 a h.

Так как угол ABC равен π/2, то треугольник ABC является равнобедренным, и его высота равна a/2. Так как площадь основания равна 7, то a^2/2 = 7, откуда a = 2*sqrt(7).

Таким образом, S = 1/2 2sqrt(7) h = sqrt(7) h.

Так как угол между плоскостью проекции и плоскостью основания равен π/2, то проекция пирамиды на эту плоскость является прямоугольным треугольником с гипотенузой a и катетами a/2 и h. Из даных условий следует, что гипотенуза равна 2*sqrt(7). По теореме Пифагора получаем, что h = sqrt(21).

Таким образом, объем пирамиды SABC равен V = 1/3 S h = 1/3 sqrt(7) sqrt(21) = sqrt(147).