Решите неравенство: 7^2х+6*7^х-7≥0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного неравенства можно воспользоваться методом замены переменной. Проведем замену (7^x = t). Тогда неравенство примет вид:

[7^{2x} + 6 \cdot 7^x - 7 \geq 0]

[t^2 + 6t - 7 \geq 0]

Решим квадратное уравнение (t^2 + 6t - 7 = 0). Для этого используем дискриминант:

[D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64]

[t_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 \pm 8}{2}]

[t_1 = 1, t_2 = -7]

Таким образом, получаем два корня квадратного уравнения - (t_1 = 1) и (t_2 = -7).

Теперь рассмотрим знаки выражения (t^2 + 6t - 7) на интервалах ((-∞, -7)), ((-7, 1)) и ((1, +∞)).

При (t \in (-∞, -7)): Возьмем любое число (t_0 < -7). Тогда:

[t^2 + 6t - 7 = (t + 7)(t - 1) > 0]

Знаки множителей сохраняются, значит, неравенство не выполняется.

При (t \in (-7, 1)): Возьмем любое число (t_0) из этого интервала. Тогда:

[t^2 + 6t - 7 = (t + 7)(t - 1) > 0]

Знаки множителей меняются (при (t \in (-7, 1))), т.е. неравенство выполняется.

При (t \in (1, +∞)): Возьмем любое число (t_0 > 1). Тогда:

[t^2 + 6t - 7 = (t + 7)(t - 1) > 0]

Знаки множителей сохраняются, значит, неравенство не выполняется.

Таким образом, решением исходного неравенства является:

[t \in (-7, 1]]

или, с учетом замены переменной,

[7^x \in (-7, 1]]