Найти наибольшее и наименьшее значения функции z(x;y)=13x+11y-xy-x^2-y^2 в области , ограниченной линиями x=0, x=4,y=0,y=4

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции z(x;y) в данной области необходимо:

Найти критические точки функции внутри области (в данном случае это производные)

Найти значения функции на границах области (x=0, x=4, y=0, y=4)

Найдем частные производные функции z(x;y):
∂z/∂x = 13 - 2x - y
∂z/∂y = 11 - x - 2y

Приравняем их к нулю для поиска критических точек:
13 - 2x - y = 0
=> y = 13 - 2x
11 - x - 2y = 0
11 - x - 2(13 - 2x) = 0
11 - x - 26 + 4x = 0
3x = 15
x = 5
Таким образом, получаем, что x равно 5, что выходит за пределы области [0,4]. Следовательно, критических точек внутри области нет.

Теперь найдем значения функции на границах области:
При x=0:
z(0;y) = 11y - y^2 = y(11-y)
Так как y находится в области [0,4], то наибольшее значение функции при x=0 будет, когда y=4:
z(0;4) = 11*4 - 4^2 = 44-16 = 28При x=4:
z(4;y) = 13*4 + 11y - 4y - 4^2 - y^2 = 52 + 7y - y^2
Наибольшее значение функции при x=4 и y в области [0,4] достигается при y=0:
z(4;0) = 52При y=0:
z(x;0) = 13x - x^2
Наибольшее значение функции при y=0 в области [0,4] достигается при x=0:
z(0;0) = 0При y=4:
z(x;4) = 13x + 11*4 - 4x - x^2 - 4^2 = 52 + 9x - x^2
Так как x находится в области [0,4], то наибольшее значение функции при y=4 будет, когда x=4:
z(4;4) = 52

Итак, наибольшее значение функции z(x;y) в данной области равно 52, а наименьшее значение равно 0.