В окружности радиуса 4 вписана трапеция, у которой боковая сторона равна меньшему основанию, а угловая мера дуги стягиваемая этим основанием равна 30° Найдите площадь трапеции

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи следует, что сторона трапеции равна радиусу окружности, то есть 4.

Для нахождения площади трапеции обозначим высоту трапеции за h, большее основание за В, а меньшее основание за b.

Так как трапеция вписана в окружность с радиусом 4, то отрезок, соединяющий середины оснований трапеции AB, является диаметром окружности и равен 8. Также, так как угловая мера дуги стягиваемой меньшим основанием равна 30°, то треугольник AOB является равносторонним.

Из этого следует, что высота трапеции h равна половине стороны меньшего основания b:
h = b/2

Также, мы можем разложить трапецию на два прямоугольных треугольника, высоты которых равны h, а гипотенузой равны 4 (радиус окружности). В данном случае можно воспользоваться формулой прямоугольного треугольника для нахождения катетов:

(4/2)^2 = h^2 + (B - b)^2

2^2 = (b/2)^2 + (B - b)^2

4 = b^2/4 + (B - b)^2

У нас есть два уравнения:

h = b/2 и 4 = b^2/4 + (B - b)^2

Решив их, получим b = 4√3, h = 2√3, B = 4 + 4√3

Теперь можем найти площадь трапеции по формуле:

S = (B + b) h / 2 = (4 + 4√3 + 4√3) 2√3 / 2 = (8 + 8√3)√3 / 2 = 12√3

Ответ: площадь трапеции равна 12√3.