В треугольнике ABC ∠ A = 3 ∠ C. Точка D на стороне BC обладает тем свойством, что ∠ ADC = 2 ∠ C.
Доказать, что AB + AD = BC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что из условия ∠A = 3∠C и ∠ADC = 2∠C следует, что ∠ACD = ∠C.

Теперь обратим внимание на треугольник ACD. Так как ∠ACD = ∠C, то этот треугольник является равнобедренным, а значит AC = AD.

Теперь вернем внимание на треугольник ABC. Из условия ∠A = 3∠C и ∠C = ∠ACD следует, что ∠A = 3∠C = 3∠ACD, то есть ∠A = ∠DAC. То есть треугольник DAC также является равнобедренным.

Теперь посмотрим на треугольник ABD. Он также является равнобедренным, то есть AB = AD.

Из равенства AC = AD и AB = AD следует, что AB = AD = AC, то есть AB + AD = AC.

Наконец, из равенства AC = AD и условия ∠ADC = 2∠C следует, что треугольник ADC равнобедренный, поэтому BD = CD.

Таким образом, BC = BD + CD = 2AD + AC = 2AD + AD = 3AD.

Итак, AB + AD = AC = 3AD = BC.
Что и требовалось доказать.