Докажем данное утверждение с помощью метода математической индукции.
База индукции: При n = 1 2^(3*1) - 1 = 7, что делится на 7.
Предположение индукции: Пусть 2^(3n) - 1 делится на 7 для некоторого натурального числа n = k.
Шаг индукции: Докажем, что утверждение верно для n = k + 1: 2^(3(k+1)) - 1 = 2^(3k + 3) - 1 = 82^(3k) - 1 = 72^(3k) + 2^(3k) - 1 = 7m + 2^(3k) - 1, где m = 2^(3k).
Таким образом, 2^(3(k+1)) - 1 = 7m + 2^(3k) - 1 = 7m + (2^(3k)-1), что делится на 7, так как по предположению индукции 2^(3k) - 1 делится на 7.
Итак, мы показали, что если 2^(3n) - 1 делится на 7 при n = 1, то оно будет делиться и при n = k + 1, следовательно, по принципу математической индукции данное утверждение верно для всех натуральных чисел n.
Докажем данное утверждение с помощью метода математической индукции.
База индукции:
При n = 1 2^(3*1) - 1 = 7, что делится на 7.
Предположение индукции:
Пусть 2^(3n) - 1 делится на 7 для некоторого натурального числа n = k.
Шаг индукции:
Докажем, что утверждение верно для n = k + 1:
2^(3(k+1)) - 1 = 2^(3k + 3) - 1 = 82^(3k) - 1 = 72^(3k) + 2^(3k) - 1 = 7m + 2^(3k) - 1,
где m = 2^(3k).
Таким образом, 2^(3(k+1)) - 1 = 7m + 2^(3k) - 1 = 7m + (2^(3k)-1), что делится на 7, так как по предположению индукции 2^(3k) - 1 делится на 7.
Итак, мы показали, что если 2^(3n) - 1 делится на 7 при n = 1, то оно будет делиться и при n = k + 1, следовательно, по принципу математической индукции данное утверждение верно для всех натуральных чисел n.