Решите уравнение
a) [tex]log^{2} x \sqrt{2} =2-\frac{ln\sqrt{2} }{lnx}[/tex]
b) найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (0,8;1]
Объясните пожалуйста подробно. Нашел это через дискриминант, а дальше нет идей...

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала рассмотрим уравнение a):

[tex]log^{2} x \sqrt{2} = 2 - \frac{ln\sqrt{2}}{lnx}[/tex]

Перепишем уравнение с использованием свойств логарифмов:

[tex](log_{x} \sqrt{2})^{2} = 2 - \frac{ln\sqrt{2}}{lnx}[/tex]

Раскроем квадрат левой части уравнения:

[tex]log_{x} 2 = 2 - \frac{ln\sqrt{2}}{lnx}[/tex]

Теперь преобразуем левую часть уравнения с помощью свойства логарифма [tex]log{a} b = \frac{1}{log{b} a}[/tex]:

[tex]\frac{1}{log_{2} x} = 2 - \frac{ln\sqrt{2}}{lnx}[/tex]

Преобразуем правую часть уравнения: [tex]ln\sqrt{2} = \frac{1}{2}ln2[/tex]

Подставим это обратно в уравнение и продолжим решение:

[tex]\frac{1}{log_{2} x} = 2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{ln2}{lnx}[/tex]

[tex]\frac{1}{log{2} x} = 2 - \frac{1}{2} \cdot log{x}2[/tex]

Далее, поменяем местами дробь слева и вносим второе слагаемое в скобки:

[tex]log_{2} x = \frac{2}{2} - \frac{1}{1}[/tex]

[tex]log_{2} x = 1[/tex]

После всего этого остается решить уравнение [tex]2^{1} = x[/tex]:

[tex]x = 2[/tex]

Теперь перейдем ко второй части задачи:

Найдем все корни уравнения [tex]log^{2} x \sqrt{2} = 2 - \frac{ln\sqrt{2} }{lnx}[/tex], которые принадлежат промежутку (0,8;1].

Из решения уравнения найден корень x = 2. Проверим его принадлежность к промежутку (0,8;1]:

2 не принадлежит промежутку (0,8;1], следовательно, в указанном промежутке нет корней уравнения.

Таким образом, единственным корнем уравнения a) является x=2, но он не принадлежит промежутку (0,8;1].