[tex]sin3xcosx-sinxcos3x=\frac{\sqrt{2} }{2}[/tex] Нужна помощ

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте выразим sin(3x) и cos(3x) через sin(x) и cos(x) с помощью формулы приведения:

sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x)
cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)

Теперь подставим эти значения в данное уравнение:

(3sin(x) - 4sin^3(x))cos(x) - sin(x)(4cos^3(x) - 3cos(x)) = √2 / 2

Упростим:

3sin(x)cos(x) - 4sin^3(x)cos(x) - 4cos^3(x)sin(x) + 3sin(x)cos(x) = √2 / 2
6sin(x)cos(x) - 4sin(x)cos(3x) - 4cos(x)sin(3x) = √2 / 2

Теперь подставим выражения для sin(3x) и cos(3x):

6sin(x)cos(x) - 4sin(x)(4cos^3(x) - 3cos(x)) - 4cos(x)(3sin(x) - 4sin^3(x)) = √2 / 2
6sin(x)cos(x) - 16sin(x)cos^3(x) + 4sin(x)cos(x) + 12cos^2(x)sin(x) - 16cos(x)sin^3(x) = √2 / 2

Упростим дальше:

10sin(x)cos(x) + 12cos^2(x)sin(x) - 16sin^3(x)cos(x) = √2 / 2

Теперь раскроем произведения:

10sin(x)cos(x) + 12cos^2(x)sin(x) - 16sin^3(x)cos(x) = √2 / 2
5sin(2x) + 12cos^2(x)sin(x) - 8sin(x)(1-cos^2(x)) = √2 / 2
5sin(2x) + 12sin(x)cos^2(x) - 8sin(x) + 8sin(x)cos^2(x) = √2 / 2
5sin(2x) + 20sin(x)cos^2(x) - 8sin(x) = √2 / 2

Теперь используем формулу двойного угла:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Подставим это обратно:

5(2sin(x)cos(x)) + 20sin(x)cos^2(x) - 8sin(x) = √2 / 2
10sin(x)cos(x) + 20sin(x)cos^2(x) - 8sin(x) = √2 / 2
10sin(x)cos(x)(1 + 2cos(x)) - 8sin(x) = √2 / 2

Теперь приведем подобные и выразим cos(x) через sin(x):

10sin(x)cos(x)(1 + 2cos(x)) - 8sin(x) = √2 / 2
10sin(x)(1-cos^2(x))(1 + 2cos(x)) - 8sin(x) = √2 / 2
10sin(x)(1 - cos^2(x) + 2cos(x) - 2cos^3(x)) - 8sin(x) = √2 / 2
10sin(x)(1 - cos^2(x) + 2cos(x) - 2(1-sin^2(x)) - 8sin(x) = √2 / 2
10sin(x)(1 - sin^2(x) + 2cos(x) - 2 + 2sin^2(x)) - 8sin(x) = √2 / 2
10sin(x)(1 + cos(x) - 2) - 8sin(x) = √2 / 2
10sin(x)cos(x) - 20sin(x) - 8sin(x) = √2 / 2
-18sin(x) = √2 / 2
sin(x) = -√2 / 36

Таким образом, решением уравнения sin(3x)cos(x) - sin(x)cos(3x) = √2 / 2 является sin(x) = -√2 / 36.