Проведите полное численное исследование функции f(x)=4x^3-3x^2+2x-1 с построением графика и нахождением нулей функции, точек локальных экстремумов и перегибов.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем производные функции f(x):
f'(x) = 12x^2 - 6x + 2
f''(x) = 24x - 6

Теперь находим точки, в которых производная равна нулю (точки экстремумов) и точки, в которых вторая производная меняет знак (точки перегиба):
12x^2 - 6x + 2 = 0
D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4122 = 36 - 96 = -60
x = (-(-6) ± √-60) / 24 = (6 ± √60i) / 24 = (1 ± √15i) / 2

Таким образом, точек локальных экстремумов у функции нет, т.к. дискриминант отрицателен.
Теперь построим график функции f(x) в программе Python:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = 4*x**3 - 3*x**2 + 2*x - 1
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('График функции f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1')
plt.grid(True)
plt.show()

На графике будет видно, что функция имеет точку перегиба, но не имеет точек локальных экстремумов. Теперь найдем нули функции:

4x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0
x^2(4x - 3) + 1(2x - 1) = 0
(4x - 3)(x^2 + 1) = 0
x = 3/4 или x = ±i

Таким образом, нули функции f(x) равны x = 3/4, x = i и x = -i.