Диаметр AB окружности параллелен хорде CD. Прямая, касающаяся окружности в точке A, пересекает прямые BC и BD в точках M и N. Найти AB, если AM = m и AN = n.Ответ: [tex] \sqrt{mn} [/tex]Нужно подробное решение. Это задача для подготовки к ЕГЭ по профильной математике.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим центр окружности точкой O.

Так как AB параллелен хорде CD, то угол AOB = 90 градусов.

Так как прямая, касающаяся окружности в точке A, пересекает прямые BC и BD в точках M и N, то AM и AN являются касательными к окружности.

Тогда по свойствам касательных угол OAM = 90 градусов и угол OAN = 90 градусов.

Тогда треугольники OAM и OAN прямоугольные и подобные, так как у них по два угла равны.

Отсюда получаем, что AM/AN = AO/OA, то есть m/n = AO/OA.

Пусть AB = x. Тогда AO = x/2 и OA = AB - x/2 = x/2, так как OA параллелен хорде CD, и равен половине диаметра.

Из уравнения m/n = x/2 / x/2 = 1 получаем mn = x^2/4, откуда x = √(mn).

Таким образом, AB = √(mn).