Решите уравнение: 4sinx-4sqrt3cosx+sin2x-sqrt3cos2x=sqrt3 И найдите все корни промежутка [-пи;3пи/5]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано уравнение:

4sinx - 4√3cosx + sin2x - √3cos2x = √3

Перепишем sin2x и cos2x через sinx и cosx:

sin2x = 2sinxcosx
cos2x = 2cos^2x - 1

Тогда уравнение примет вид:

4sinx - 4√3cosx + 2sinxcosx - √3(2cos^2x - 1) = √3
4sinx - 4√3cosx + 2sinxcosx - 2√3cos^2x + √3 = √3

Упрощаем:

(2sinx - 4√3cosx) + 2sinxcosx - 2√3cos^2x = 0
2(sin2x - 2√3cosx) + 2sinxcosx - 2√3cos^2x = 0

Подставляем sin2x и cos2x:

2(2sinx - 2√3cosx) + 2sinxcosx - 2√3(1 - sin^2x) = 0
4sinx - 4√3cosx + 2sinxcosx - 2√3 + 2√3sin^2x = 0
4sinx + 2sinxcosx + 2√3sin^2x - 2√3cosx = 0

2(2sinx + sinxcosx + √3sin^2x - √3cosx) = 0

Получаем уравнение:

2sinx(2 + cosx) + √3sin^2x(2 - cosx) = 0

Находим корни уравнения на интервале [-π; 3π/5]:

1) sinx = 0
x = 0, π

2) 2 + cosx = 0
cosx = -2
такого корня не существует, так как -1 ≤ cosx ≤ 1

3) 2 - cosx = 0
cosx = 2
такого корня не существует, так как -1 ≤ cosx ≤ 1

Итак, корнями данного уравнения на заданном интервале являются x = 0 и x = π.