Доказать, что варианта имеет конечный предел? Стало интересно, как же это все-таки сделать. У нас есть принцип сходимости Б-К. Но как следует его применить?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства того, что последовательность имеет конечный предел, можно воспользоваться принципом сходимости Больцано-Вейерштрасса (Б-К).

Принцип Б-К утверждает, что из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Для того чтобы применить принцип Б-К к последовательности, нужно доказать два утверждения:

Последовательность ограничена.Из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Если оба условия выполнены, то это означает, что исходная последовательность имеет конечный предел.

Давайте рассмотрим пример. Допустим, у нас есть последовательность {1/n}. Чтобы показать, что эта последовательность имеет конечный предел, мы можем воспользоваться принципом Б-К:

Последовательность 1/n ограничена, так как все ее элементы находятся в промежутке [0, 1].Из последовательности {1/n} можно выделить подпоследовательность {1/2n}, которая сходится к нулю при n стремящемся к бесконечности.

Таким образом, мы доказали, что последовательность {1/n} имеет конечный предел, равный нулю.