Задачка по линейной алгебре. Пересечение плоскостей в точке? Почему-то мне очень понравилась эта задачка. Я попытал несколько способов ее решения и получил кучу удовольствия в процессе.Каково наименьшее число измерений пространства, в котором две плоскости могут пересечься в точке? (Речь идет о линейном пространстве)
Взята из «Гельфанд И.М. — Лекции по линейной алгебре».

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы две плоскости пересекались в точке, необходимо, чтобы они были не параллельны между собой. Если плоскости параллельны, то они либо не пересекаются вообще, либо пересекаются по прямой.

Пусть у нас есть две плоскости в n-мерном пространстве:
P1: a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b1
P2: c1x1 + c2x2 + ... + cnxn = b2

Для того чтобы плоскости пересекались в точке, необходимо, чтобы их векторы нормали a = [a1, a2, ..., an] и c = [c1, c2, ..., cn] не были коллинеарными (не кратны друг другу). Это означает, что векторы a и c линейно независимы.

Таким образом, наименьшее число измерений пространства, в котором две плоскости могут пересечься в точке, равно 2 (т.е. две плоскости должны быть в трехмерном пространстве).