найти значение выражения (14sinx+21cosx)/(cosx-sinx)=? если ctg(x/2)=1/2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала, выразим sin(x) и cos(x) через ctg(x/2) с помощью тригонометрических тождеств:

ctg(x/2) = 1/2
ctg(x/2) = cos(x/2) / sin(x/2)
cos(x/2) = 2sin(x/2)
cos(x) = cos^2(x/2) - sin^2(x/2) = (2sin^2(x/2) - sin^2(x/2)) / (2sin(x/2)) = (sin^2(x/2)) / (2sin(x/2)) = sin(x/2) / 2

sin(x) = sin(2(x/2)) = 2sin(x/2)cos(x/2) = 2sin(x/2)(2sin(x/2)) = 4sin^2(x/2)

Подставим sin(x) и cos(x) в выражение (14sinx+21cosx)/(cosx-sinx):

(144sin^2(x/2) + 21sin(x/2))/(sin(x/2)/2 - 4sin^2(x/2))

56sin^2(x/2) + 21sin(x/2) / (sin(x/2) / 2 - 4sin^2(x/2))

Умножим числитель и знаменатель на 2:

(112sin^2(x/2) + 42sin(x/2)) / (2sin(x/2) - 8sin^2(x/2))

Выразим sin(x/2) через ctg(x/2):

Основной действительным тригонометрическим соотношением для ctg(α):

ctg(α) = 1 / tan(α)

Согласно основании одним из основных тригонометрических соотношений, соединяющих тангенс и котангенс одного и того же аргумента:

tg(α) = 1 / ctg(α)

Соответственно, имеем:

tg(x/2) = 1 / ctg(x/2) = 1 / (1 / 2) = 2

Пользуясь другим из тригонометрических соотношений, соединяющих тангенс и котангенс:

1 + tg²(α) = sec²(α)

получим:

1 + tg²(x/2) = sec²(x/2) = (1 + 2²) = 5

Отсюда найдем косинус:

cos(x/2) = √(1 / sec²(x/2)) = √(1 / 5) = √5 / 5

Теперь подставим sin(x/2) и cos(x/2) в выражение (112sin^2(x/2) + 42sin(x/2)) / (2sin(x/2) - 8sin^2(x/2)):

(112(4 / 5)^2 + 42(4 / 5)) / (2(4 / 5) - 8(4 / 5)^2)
(11216/25 + 424/5) / (8/5 - 128/25)
(1792/25 + 168/25) / (40/25 - 128/25)
(1960/25) / (-88/25)
-28

Итак, значение заданного выражения равно -28.