Исследовать на экстремум функцию z=f(x,y)
z=8x+7y-xy+y^2-12

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем частные производные функции z=f(x,y) по переменным x и y:
∂z/∂x = 8 - y
∂z/∂y = 7 + 2y - x

Далее найдем точки экстремума, приравняв частные производные к нулю:
8 - y = 0
y = 8
7 + 2y - x = 0
x = 7 + 2y
x = 7 + 2*8
x = 23

Таким образом, найденная точка экстремума функции z=f(x,y) равна (23, 8).

Проверим эту точку на экстремум, используя метод вторых производных. Для этого найдем частные производные второго порядка:
∂^2z/∂x^2 = -1
∂^2z/∂y^2 = 2
∂^2z/∂x∂y = -1

Вычислим определитель Гессиана в найденной точке:
D = (∂^2z/∂x^2)(∂^2z/∂y^2) - (∂^2z/∂x∂y)^2
D = (-1)(2) - (-1)^2
D = -2 + 1
D = -1

Так как определитель Гессиана отрицательный, то найденная точка экстремума является точкой максимума функции z=f(x,y).

Таким образом, функция z=f(x,y) имеет точку максимума при x=23 и y=8, значение функции в этой точке равно z = f(23, 8) = 177.