Найдите радиус окружности, касающейся вписанной окружности этого треугольника и двух его боковых сторон. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен 128 см, косинус угла при его основании равен 7/9. Найдите радиус окружности, касающейся вписанной окружности этого треугольника и двух его боковых сторон.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус вписанной окружности равен r, а радиус искомой окружности равен R. Также обозначим стороны равнобедренного треугольника через a (основание) и b (боковая сторона).

Известно, что радиус вписанной окружности треугольника равен 128 см, то есть r = 128.

Так как треугольник равнобедренный, то у него две одинаковые боковые стороны, и тогда косинус угла при основании равен:
cos(α) = b / (2 * r),
где α - угол при основании треугольника.

Из условия cos(α) = 7/9 и r = 128 получаем:
b = 2 r cos(α) = 2 128 7/9 = 179.

Треугольник делится на два равных прямоугольных треугольника, один из которых имеет гипотенузу (r + R), прилегающую к основанию треугольника (a). Таким образом, в этом треугольнике:
(a/2)^2 + (r + R)^2 = (b/2)^2,
или
(a/2)^2 + (128 + R)^2 = (179/2)^2.

Известно, что a/2 = (b - a)/2, а значит:
((b - a)/2)^2 + (128 + R)^2 = (179/2)^2.

Подставляя значения a, b и r, мы можем решить это уравнение и найти радиус R:
(179 - 2 * 128 / 2)^2 + (128 + R)^2 = (179/2)^2,
(31)^2 + (128 + R)^2 = (89.5)^2,
961 + 128^2 + 256R + R^2 = 8020.25,
R^2 + 256R - 7059.25 = 0.

Решая это квадратное уравнение, получаем два решения:
R = 26.75 см и R = -282.75 см.

Так как радиус не может быть отрицательным, то радиус окружности, касающейся вписанной окружности и двух боковых сторон треугольника, равен 26.75 см.