Написать три первых члена степенного ряда по задоному общему члену 2^n x^x/6^n+3^n. найти интервал сходимости ряда и исследовать ее сходимость на концах этого ряда

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Первый член степенного ряда: 2^1 x^1 / 6^4 + 3^4 = 2x / 1296 + 81 = (2/1296)x + 81.

Второй член степенного ряда: 2^2 x^2 / 6^5 + 3^5 = 4x^2 / 7776 + 243 = (4/7776)x^2 + 243.

Третий член степенного ряда: 2^3 x^3 / 6^6 + 3^6 = 8x^3 / 46656 + 729 = (8/46656)x^3 + 729.

Общий член степенного ряда: a_n = 2^n x^n / 6^(n+3) + 3^(n+3).

Для исследования сходимости ряда найдем радиус сходимости по формуле: R = lim |a_n / a_n+1| = lim |(2^n x^n / 6^(n+3) + 3^(n+3)) / (2^(n+1) x^(n+1) / 6^(n+4) + 3^(n+4))|.

Упростим выражение: R = lim |(2^n x^n / 6^(n+3) + 3^(n+3)) (6^4 + 3^4) / (2^(n+1) x^(n+1) / 6^(n+4) + 3^(n+4)) (6^3 + 3^3)| = lim |(2 / 3x)(6^4 + 3^4) (6^4 + 3^4) / (2 / 3x)(6^4 + 3^4) (6^3 + 3^3)| = 1/3.

Таким образом, радиус сходимости ряда R = 1/3. Интервал сходимости ряда (-1/3; 1/3). Для исследования сходимости на концах ряда подставим x = -1/3 и x = 1/3.

При подстановке x = -1/3 в общий член ряда получаем a_n = (-2)^n / 6^(n+3) + 3^(n+3). Так как (-2)^n не стремится к нулю при n -> бесконечности, ряд расходится при x = -1/3.

При подстановке x = 1/3 в общий член ряда получаем a_n = 2^n / 6^(n+3) + 3^(n+3). Так как 2^n / 6^(n+3) стремится к нулю при n -> бесконечности, но 3^(n+3) не стремится к нулю, ряд также расходится при x = 1/3.

Таким образом, ряд сходится на интервале (-1/3; 1/3), а на его концах – верхнем и нижнем – расходится.