Sin^4 П/16 + sin^4 3П/16 +sin^4 5П/16 + sin^4 7П/16
(sin^4 это синус в четвёртой степени)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного выражения, можно воспользоваться формулой:
sin^4(x) = (1 - cos(2x))/2 (1 - cos(2x))/2
Таким образом, раскроем каждое слагаемое:
sin^4 П/16 = (1 - cos(П/8))/2 (1 - cos(П/8))/2
sin^4 3П/16 = (1 - cos(3П/8))/2 (1 - cos(3П/8))/2
sin^4 5П/16 = (1 - cos(5П/8))/2 (1 - cos(5П/8))/2
sin^4 7П/16 = (1 - cos(7П/8))/2 * (1 - cos(7П/8))/2

Теперь подставим значения cos:
cos(П/8) = cos(3П/8) = cos(5П/8) = cos(7П/8) = (√2 + √2)/4

Подставив значения, получаем:
(sin^4 П/16) + (sin^4 3П/16) + (sin^4 5П/16) + (sin^4 7П/16) = ((1 - (√2 + √2)/4)/2 (1 - (√2 + √2)/4)/2) 4
= ((1 - (√2 + √2)/4) (1 - (√2 + √2)/4))/2
= (1 - 2(√2 + √2) + 2/4)/2
= (1 - 2√2 - 2√2 + 1)/2
= (2 - 4√2)/2
= 1 - 2√2

Итак, sin^4 П/16 + sin^4 3П/16 + sin^4 5П/16 + sin^4 7П/16 = 1 - 2√2.