Рациональное число p/q является суммой 35 дробей 1/2^2, 2/3^2, ..., 35/36^2. Доказать, что р делится на 37

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала выразим п/q как сумму данных дробей:

p/q = 1/(2^2) + 2/(3^2) + ... + 35/(36^2)

Теперь найдем общий знаменатель для всех дробей в правой части:

q = 2^2 3^2 ... 36^2 = 2^2 3^2 ... 36^2

Теперь умножим обе части равенства на q:

p = q*(1/(2^2) + 2/(3^2) + ... + 35/(36^2))

Таким образом, p является суммой 35 числителей, каждое из которых является произведением чисел от 2 до 36 (т.е. 35!).

Рассмотрим каждое число j от 2 до 36. Каждое из них можно выразить в виде 37*k + r, где 0 <= r <= 36.

Таким образом, j! можно записать в виде 37*k + r для некоторых целых k и r.

Тогда p можно записать в виде 35!37k + r1 + r2 + ... + r35.

Так как каждое r меньше 37, то сумма всех r не превысит 3536. Таким образом, остаток от деления p на 37 равен остатку от деления 35!37*k на 37.

Так как 35!*37 является произведением 36 чисел, каждое из которых делится на 37, то остаток от деления p на 37 равен 0.

Следовательно, р делится на 37.