Доказать справедливость равенства(sin(x)+sin(x/2))/(1+cos(x)+cos(x/2))=tg(x/2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного равенства необходимо преобразовать левую часть уравнения с использованием тригонометрических тождеств.

Используем тригонометрическое тождество:

sin(a) + sin(b) = 2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)

Подставляем a = x, b = x/2:

sin(x) + sin(x/2) = 2sin((x+x/2)/2)cos((x-x/2)/2) = 2sin(3x/2)cos(x/2)

Далее преобразуем знаменатель:

1 + cos(x) + cos(x/2) = 1 + cos(x) + cos(x/2) = 1 + 2cos((x+x/2)/2)cos((x-x/2)/2) = 1 + 2cos(3x/2)cos(x/2)

Теперь заменим исходное уравнение на полученные выражения:

(2sin(3x/2)cos(x/2))/(1+2cos(3x/2)cos(x/2))

Упростим дальше:

(2sin(3x/2)cos(x/2)) / (1 + 2cos(3x/2)cos(x/2)) = tg(x/2)

Таким образом, мы доказали равенство (sin(x)+sin(x/2))/(1+cos(x)+cos(x/2)) = tg(x/2) с использованием тригонометрических тождеств.