Уравнение [tex]x^{2}[/tex]+2[tex]p_{1}[/tex]x+[tex]q_{1}[/tex]=0 и [tex]x^{2}[/tex]+2[tex]p_{2}[/tex]x+[tex]q_{2}[/tex]=0 таковы что [tex]q_{1}[/tex]+[tex]q_{2}[/tex]=2[tex]p_{1}[/tex][tex]p_{2}[/tex]. Докажите, что что если одно из них не имеет корней, то второе имеет корни.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что уравнение [tex]x^{2}[/tex]+2[tex]p{1}[/tex]x+[tex]q{1}[/tex]=0 не имеет корней. Тогда дискриминант этого уравнения равен [tex]\Delta{1}[/tex]=[tex]p{1}[/tex]^{2}-[tex]q{1}[/tex]<0. Так как сумма [tex]q{1}[/tex]+[tex]q{2}[/tex]=2[tex]p{1}[/tex][tex]p{2}[/tex], то [tex]q{2}[/tex]=2[tex]p{1}[/tex][tex]p{2}[/tex]-[tex]q{1}[/tex]. Так как [tex]\Delta{1}[/tex]<0, то [tex]p{1}[/tex]^{2]<[tex]q{1}[/tex].
Рассмотрим дискриминант уравнения [tex]x^{2}[/tex]+2[tex]p{2}[/tex]x+[tex]q{2}[/tex]=0. [tex]\Delta{2}[/tex]=[tex]p{2}[/tex]^{2}-[tex]q{2}[/tex]=[tex]p{2}[/tex]^{2}-(2[tex]p{1}[/tex][tex]p{2}[/tex]-[tex]q{1}[/tex])=[tex]p{2}[/tex]^{2}-2[tex]p{1}[/tex][tex]p{2}[/tex]+[tex]q{1}[/tex]([tex]p{1}[/tex]^{2}<[tex]q{1}[/tex]).
Так как [tex]\Delta{2}[/tex]=[tex]p{2}[/tex]^{2}-2[tex]p{1}[/tex][tex]p{2}[/tex]+[tex]q{1}[/tex]>0, то уравнение [tex]x^{2}[/tex]+2[tex]p{2}[/tex]x+[tex]q{2}[/tex]=0 имеет корни.