Решите неравенство (2x+5)^2≥ (5x-2)^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Начнем с раскрытия обеих скобок:

(2x + 5)^2 = 4x^2 + 20x + 25
(5x - 2)^2 = 25x^2 - 20x + 4

Теперь подставим оба раскрытых выражения в исходное неравенство:

4x^2 + 20x + 25 ≥ 25x^2 - 20x + 4

Перенесем все члены на одну сторону неравенства:

4x^2 + 20x + 25 - 25x^2 + 20x - 4 ≥ 0
-21x^2 + 40x + 21 ≥ 0

Теперь решим квадратное уравнение -21x^2 + 40x + 21 = 0. Для этого можно использовать дискриминант:

D = b^2 - 4ac
D = 40^2 - 4(-21)21
D = 1600 + 1764
D = 3364

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

x1 = (-40 + sqrt(3364)) / -42 ≈ 1.476
x2 = (-40 - sqrt(3364)) / -42 ≈ -0.714

Теперь найдем интервалы, в которых уравнение -21x^2 + 40x + 21 ≥ 0 верно. Для этого можно выбрать точку, например, x = 0:

-210^2 + 400 + 21 ≥ 0
21 ≥ 0

Таким образом, условие неравенства (-21x^2 + 40x + 21 ≥ 0) верно на интервалах x ∈ (-∞; -0.714] и x ∈ [1.476; +∞).

Поэтому исходное неравенство (2x + 5)^2 ≥ (5x - 2)^2 выполняется при x ∈ (-∞; -0.714] и x ∈ [1.476; +∞).