Найдите sinx^8+cosx^8 если sin 2x=2/5

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано: sin(2x) = 2/5

Заметим, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1, можно также записать как sin^2(x) = 1 - cos^2(x).

Используя формулу двойного угла sin(2x) = 2sin(x)cos(x), получаем:

2/5 = 2sin(x)cos(x), sin(x) = 2/(5cos(x))

(2/(5cos(x)))^2 + cos^2(x) = 1

4/(25cos^2(x)) + cos^2(x) = 1

4 + 25cos^2(x) = 25cos^4(x)

25cos^4(x) - 25cos^2(x) + 4 = 0

Пусть z = cos^2(x)

25z^2 - 25z + 4 = 0

Дискриминант D = 25^2 - 4254 = 625 - 400 = 225

z1,2 = (25 ± sqrt(D)) / 5
z1 = (25 + 15) / 50 = 40 / 50 = 0.
z2 = (25 - 15) / 50 = 10 / 50 = 0.2

cos^2(x) = 0.8 или 0.2

cos(x) = ± √(0.8) или ± √(0.2)

Таким образом, sin(x) = ± √(0.2)

Теперь можем найти sin(x)^8 + cos(x)^8:

(sin(x)^8 + cos(x)^8 = (√(0.2))^8 + (√(0.8))^8 = 0.2^4 + 0.8^4 = 0.0016 + 0.4096 = 0.4112

Итак, sin(x)^8 + cos(x)^8 = 0.4112.