Исследовать ряд на сходимость (3n-1)^n/(4n-3)^n использую признак коши или даламбера

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования сходимости ряда ( \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3n-1}{4n-3}\right)^n ) воспользуемся признаком Даламбера.

Рассмотрим отношение соседних членов ряда:

[ \lim{n \to \infty} \left| \frac{a{n+1}}{an} \right| = \lim{n \to \infty} \left| \frac{ \left(\frac{3(n+1)-1}{4(n+1)-3}\right)^{n+1} }{ \left(\frac{3n-1}{4n-3}\right)^n } \right| ]

Упростим выражение:

[ = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{ \left(\frac{3n+2}{4n+1}\right)^{n+1} }{ \left(\frac{3n-1}{4n-3}\right)^n } \right| ]

[ = \lim_{n \to \infty} \frac{ \left(\frac{3n+2}{4n+1}\right)^n \cdot \frac{3n+2}{4n+1} }{ \left(\frac{3n-1}{4n-3}\right)^n } ]

[ = \lim_{n \to \infty} \frac{ \left(\frac{3n+2}{4n+1} \cdot \frac{3n-1}{4n-3}\right)^n \cdot \frac{3n+2}{4n+1} }{ \left(\frac{3n-1}{4n-3}\right)^n } ]

[ = \lim_{n \to \infty} \frac{ \left(\frac{9n^2-n-2}{16n^2-n-3}\right)^n \cdot \frac{3n+2}{4n+1} }{ \left(\frac{3n-1}{4n-3}\right)^n } ]

[ = \lim_{n \to \infty} \frac{ \left( \frac{9 - \frac{1}{n} - \frac{2}{n^2}}{16 - \frac{1}{n} - \frac{3}{n^2}} \right)^n \cdot \frac{3 + \frac{2}{n}}{4 + \frac{1}{n}} }{ \left( \frac{3 - \frac{1}{n}}{4 - \frac{3}{n}} \right)^n } ]

[ = \frac{9}{16} ]

Так как предел отношения соседних членов ряда равен ( \frac{9}{16} ) (меньше единицы), то по признаку Даламбера ряд сходится.