Для решения данного уравнения необходимо воспользоваться формулами для разности кубов и суммы кубов.

1) [tex](a^{3} - b^{3}) = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})[/tex]
2) [tex](a^{3} + b^{3}) = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})[/tex]

Также воспользуемся тем, что
[tex](x^{3} - y^{3}) = (x - y)(x^{2} + xy + y^{2})[/tex]
[tex](x^{3} + y^{3}) = (x + y)(x^{2} - xy + y^{2})[/tex]

Данное уравнение можно представить в виде:
[tex]\frac{(a^{2} - b^{2})*(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})}{\sqrt[3]{a^{4}} + \sqrt[3]{ab^{3}} - \sqrt[3]{a^{3}b} - \sqrt[3]{b^{4}}}[/tex]

1) Выносим a^2 - b^2:
[tex]\frac{(a^{2} - b^{2})(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})}{\sqrt[3]{a} (a - b) + \sqrt[3]{ab^{2}} (b - a)}= [/tex]
[tex]= \frac{(a^{2} - b^{2})(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})}{\sqrt[3]{a} (a - b) - \sqrt[3]{a} b * (a - b)}[/tex]

2) Разности кубов:
[tex]a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})[/tex]
[tex]\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}[/tex] = a - b
[tex]\sqrt[3]{a}^{2} + \sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b}^{2} =[/tex]
[tex]= (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a}^{2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b}^{2})[/tex]
[tex]a + \sqrt[3]{ab} + b =[/tex]
[tex]= (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a}^{2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b}^{2})[/tex]

3) Подставляем это значение в исходное уравнение:
[tex]\frac{(a^{2} - b^{2}) (a - b)} {\sqrt[3]{a} (a - b) - \sqrt[3]{a} b (a - b)} =[/tex]
[tex]= \frac{(a - b)(a + b)(a - b)}{\sqrt[3]{a} (a - b)(1 - b)} =[/tex]
[tex]= \frac{(a + b)(a - b)}{\sqrt[3]{a} (b - 1)}[/tex]