Для доказательства данного равенства воспользуемся формулой тангенса суммы:

tg(α + β) = (tg(α) + tg(β)) / (1 - tg(α) * tg(β)), где α = π/4, β = x.

Преобразуем данное равенство:

tg(π/4 + x) = (tg(π/4) + tg(x)) / (1 - tg(π/4) * tg(x)),

Учитывая тот факт, что tg(π/4) = 1 и tg(π/4) = 1, тогда:

tg(π/4 + x) = (1 + tg(x)) / (1 - tg(x)),

Приведем данное уравнение к виду тангенсов на базисные тригонометрические функции:

tg(x) = sin(x) / cos(x)

Подставим это в наше уравнение:

tg(π/4 + x) = (1 + sin(x) / cos(x)) / (1 - sin(x) / cos(x)),

Преобразуем правую часть уравнения:

tg(π/4 + x) = (cos(x) + sin(x)) / (cos(x) - sin(x)),

Применим формулы для синуса и косинуса двойного аргумента:

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Подставим эти формулы в наше уравнение:

tg(π/4 + x) = (cos(x) + sin(x)) / (cos(x) - sin(x)) = (cos(x) + sin(x)) (cos(x) + sin(x)) / (cos(x) - sin(x)) (cos(x) + sin(x)) = (cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) + sin^2(x)) / (cos^2(x) - sin^2(x)).

Применим формулу для sin(2x) и cos(2x):

tg(π/4 + x) = (cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) + sin^2(x)) / (cos^2(x) - sin^2(x)) = (cos^2(x) + sin^2(x) + 2sin(x)cos(x)) / (cos^2(x) - sin^2(x)) = (1 + sin(2x)) / cos(2x).

Таким образом, доказано равенство tg(π/4 + x) = (1 + sin(2x)) / cos(2x).