1. Вычислить значение производной функции заданной неявно
[tex]3x-2y+z=xz+5[/tex] в точке [tex]M_{0} (0,1,-1)[/tex]
2. Исследовать функцию [tex]z= 2xy-3x^2-2y^2+10[/tex] на
экстремумы

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления производной функции, заданной неявно, воспользуемся методом неявного дифференцирования.

Имеем уравнение:
3x - 2y + z = xz + 5

Продифференцируем это уравнение по x:
3 - y = z + x * dz/dx

Подставим данное уравнение в точке M0 (0,1,-1):
3 - 1 = -1 + 0 * dz/dx
2 = dz/dx

Значение производной функции в точке M0 равно 2.

Для исследования функции z = 2xy - 3x^2 - 2y^2 + 10 на экстремумы воспользуемся методом нахождения частных производных первого порядка и второго порядка.

Найдем частные производные первого порядка:
dz/dx = 2y - 6x
dz/dy = 2x - 4y

Теперь найдем частные производные второго порядка:
d^2z/dx^2 = -6
d^2z/dy^2 = -4

Также найдем смешанную частную производную:
d^2z/dxdy = 2
d^2z/dydx = 2

Для нахождения экстремумов функции найдем ее критические точки, где частные производные равны нулю:
2y - 6x = 0
2x - 4y = 0

Из первого уравнения находим y = 3x, подставляем во второе:
2x - 4 * 3x = 0
-10x = 0
x = 0

Подставляем x = 0 в первое уравнение:
2y - 6 * 0 = 0
y = 0

Таким образом, найденная точка экстремума функции z = 2xy - 3x^2 - 2y^2 + 10 составляет (0,0).

Для определения типа экстремума (минимум или максимум) будем использовать вторую производную:
D = d^2z/dx^2 d^2z/dy^2 - (d^2z/dxdy)^2 = (-6) (-4) - 2^2 = 24

Поскольку D > 0, то в точке (0,0) функция имеет экстремум. Так как d^2z/dx^2 < 0, то это точка максимума.