A,в и с -стороны треугольника докажите чтоа^3+в^3+3авс>с^3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим для трех чисел:

(a^3 + b^3 + c^3)/3 ≥ (abc)^(3/3)
(a^3 + b^3 + c^3)/3 ≥ c

Умножим обе части неравенства на 3:

a^3 + b^3 + c^3 ≥ 3c

Теперь подставим a=а, b=b, c=ab в данное выражение:

a^3 + b^3 + (ab)^3 ≥ 3ab

a^3 + b^3 + 3a^2b^2 ≥ 3ab

Так как a^2 + b^2 > 2ab, подставляем это выражение в предыдущее:

a^3 + b^3 + 3a^2b^2 > 3ab

Таким образом, получаем исходное неравенство: a^3 + b^3 + 3ab > 3ab.