Докажите, что при любом натуральном m число m^5+4m делится на 5.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это по индукции.

База индукции: при m=1 получаем 1^5 + 4*1 = 1 + 4 = 5, что делится на 5.

Предположение индукции: пусть для некоторого натурального k число k^5 + 4k делится на 5.

Шаг индукции: докажем, что число (k+1)^5 + 4(k+1) также будет делиться на 5.

(k+1)^5 + 4(k+1) = k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1 + 4k + 4 = k^5 + 4k + 5(k^4 + 2k^3 + 2k^2 + k + 1)

По предположению индукции первый член (k^5 + 4k) делится на 5, а остальная часть является суммой произведения 5 на целое число, следовательно, она также делится на 5.

Таким образом, для любого натурального числа m, число m^5 + 4m будет делиться на 5.