Решите неравенство (x−1) ^ 2 < √2(x−1)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Начнем с неравенства:

(x - 1)^2 < √2(x - 1)

Раскроем квадрат слева:

x^2 - 2x + 1 < √2x - √2

Перенесем все члены влево:

x^2 - 2x + 1 - √2x + √2 < 0

x^2 - (2 + √2)x + 1 + √2 < 0

Теперь найдем вершины параболы, чтобы определить интервалы, где неравенство выполняется. Формула вершины параболы x = -b / 2a:

x = (2 + √2) / 2

Теперь проверим значения в каждой части интервала. Возьмем значение x < (2 + √2) / 2 (левая часть):

Выберем x = 0:

0^2 - (2 + √2)*0 + 1 + √2 = 1 + √2 > 0

Теперь возьмем значение x > (2 + √2) / 2 (правая часть):

Выберем x = 3:

3^2 - (2 + √2)*3 + 1 + √2 = 6 - 6 - √2 + 1 + √2 = 1 > 0

Таким образом, неравенство (x - 1)^2 < √2(x - 1) выполняется при (2 + √2) / 2 < x < ∞.