Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
a) y=2x^2; y=2x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи нужно найти точки пересечения двух кривых y=2x^2 и y=2x.

Поставим их равными и найдем x:

2x^2 = 2x

Переносим все в одну сторону и приводим подобные члены:

2x^2 - 2x = 0

Теперь вынесем 2x:

2x(x - 1) = 0

Так как произведение равно 0, то один из множителей должен быть равен нулю:

2x = 0 или x - 1 = 0

Из первого уравнения получаем x = 0, а из второго x = 1.

Таким образом, точки пересечения кривых y=2x^2 и y=2x - это точки (0,0) и (1,2).

Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми. Для этого возьмем определенный интеграл от y=2x до y=2x^2 по переменной x от 0 до 1:

S = ∫[0,1] (2x^2 - 2x) dx
S = [(2/3)x^3 - x^2] [0,1]
S = (2/31^3 - 1^2) - (2/30^3 - 0^2)
S = (2/3 - 1)
S = 1/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x^2 и y=2x, равна 1/3.