Докажите, что при всех допустимых значениях a значение выражения не зависит от значение a[tex]( \frac{1}{a + 3} - \frac{27}{a {}^{3} + 27} + \frac{9}{a {}^{2} - 3a + 9} ) \times (a - \frac{6a - 9}{a + 3} )[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства независимости значения выражения от параметра a, рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

1) Рассмотрим первое слагаемое:
[tex]\frac{1}{a + 3} - \frac{27}{a^3 + 27} + \frac{9}{a^2 - 3a + 9}[/tex]

Для первого знаменателя a + 3 = 0 при a = -3,
для второго знаменателя a^3 + 27 = 0 при a = -3,
для третьего знаменателя a^2 - 3a + 9 = 0, дискриминант отрицателен и мнимые корни, но нам интересны только вещественные значения, и в данном случае знаменатель всегда положителен при любом a.

Из вышеперечисленного видно, что все три дроби определены для любых допустимых значений a, следовательно первое слагаемое не зависит от a.

2) Рассмотрим второе слагаемое:
a - \frac{6a - 9}{a + 3}

Заметим, что это слагаемое раскладывается на a - 6 + \frac{9}{a + 3}, что не зависит от значения параметра a.

Таким образом, произведение двух найденных выражений также не будет зависеть от значения a, так как является произведением выражений, не зависящих от a.