Найти площадь фигуры,ограниченной данными линиями y=3√x,y=3/x,x=4

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями, мы сначала должны найти точки их пересечения. Это можно сделать, приравняв уравнения линий друг к другу.

y = 3√x
y = 3/x

3√x = 3/x
3x = 9
x = 3

Подставляем x = 3 в любое из уравнений:

y = 3√3
y = 3√3

Таким образом, точка пересечения линий находится в (3, 3√3).

Теперь находим площадь фигуры, которая ограничена этими линиями и x = 4. Для этого найдем интеграл площади криволинейного сегмента между функциями y = 3√x и y = 3/x от x = 3 до x = 4, а затем вычтем из него площадь фигуры, образованной функцией y = 3√x и прямой x = 4.

Площадь криволинейного сегмента:
S1 = ∫[3;4] y(x) dx
S1 = ∫[3;4] (3/x - 3√x) dx

Площадь фигуры, ограниченной функцией y = 3√x и x = 4:
S2 = 3 * (4 - 3) = 3

Площадь искомой фигуры:
S = S1 - S2

Решаем интеграл:
S1 = ∫(3/x - 3√x)dx = 3ln|x| - 2x√x |[3;4]

S1(4) - S1(3) = 3ln(4) - 2√4 4 - (3ln(3) - 2√3 3)

S ≈ 3.38

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3√x, y = 3/x и x = 4, равна примерно 3.38.