Заданы уравнения высот треугольника АВС: х + у – 2 = 0, 9х – 3у – 4 = 0 и вершина А(2, 2). Найти уравнения его сторон.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения уравнений сторон треугольника ABC, рассмотрим уравнения высот:

1) x + у – 2 = 0,
2) 9х – 3у – 4 = 0.

Сначала найдем точку пересечения высот треугольника ABC. Для этого решим систему уравнений:

x + у – 2 = 0,
9х – 3у – 4 = 0.

Умножим первое уравнение на 3, чтобы избавиться от коэффициента перед у во втором уравнении:

3x + 3у – 6 = 0,
9х – 3у – 4 = 0.

Сложим оба уравнения:

3x + 9x – 6 – 4 = 0,
12x = 10,
x = 10/12 = 5/6.

Подставим x в первое уравнение:

5/6 + у – 2 = 0,
у = 2 – 5/6 = 7/6.

Таким образом, точка пересечения высот треугольника ABC равна B(5/6, 7/6).

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точку A(2, 2) и B(5/6, 7/6), которая будет одной из сторон треугольника ABC.

Найдем угловой коэффициент прямой:

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (7/6 - 2) / (5/6 - 2) = (7/6 - 12/6) / (-7/6) = -5/6 / -7/6 = 5/7.

Теперь подставим найденный угловой коэффициент и координаты одной из вершин (например, точки A(2,2)) в уравнение прямой:

y - y1 = k(x - x1),
y - 2 = 5/7(x - 2).

Упростим уравнение:

7y - 14 = 5x - 10,
7y = 5x + 4,
5x - 7y + 4 = 0.

Таким образом, уравнение одной из сторон треугольника ABC равно 5x - 7y + 4 = 0.

Аналогично найдем уравнение второй стороны треугольника ABC, проведенной из вершины B:

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки A(2, 2) и B(5/6, 7/6):

k = (7/6 - 2) / (5/6 - 2) = (7/6 - 12/6) / (5/6 - 2) = -5/6 / (-7/6) = 5/7.

Уравнение прямой:

y - 2 = 5/7(x - 2),
7y - 14 = 5x - 10,
7y = 5x + 4,
5x - 7y + 4 = 0.

Таким образом, уравнение второй стороны треугольника ABC равно 5x - 7y + 4 = 0.

Итак, уравнения сторон треугольника ABC:

1) 5x - 7y + 4 = 0,
2) 5x - 7y + 4 = 0.