Число целых неравенств[tex] \sqrt{x - 4} - \sqrt{x - 7} \geqslant 1[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Прежде чем решить неравенство [tex]\sqrt{x - 4} - \sqrt{x - 7} \geqslant 1[/tex], сначала определим область допустимых значений переменной x.

Для начала, аргументы под корнями должны быть неотрицательными:
[tex]\begin{cases} x - 4 \geqslant 0 \Rightarrow x \geqslant 4 \ x - 7 \geqslant 0 \Rightarrow x \geqslant 7 \end{cases}[/tex]
Итак, x должен быть больше или равен 7.

Теперь решим само неравенство:
[tex]\sqrt{x - 4} - \sqrt{x - 7} \geqslant 1 \Rightarrow \sqrt{x - 4} \geqslant 1 + \sqrt{x - 7}[/tex]

Возводим обе части неравенства в квадрат:
[tex]x - 4 \geqslant 1 + 2\sqrt{x - 7} + (x - 7)[/tex]
[tex]x - 4 \geqslant 2\sqrt{x - 7} + 2[/tex]
[tex]x - 6 \geqslant 2\sqrt{x - 7}[/tex]

Возводим обе части в квадрат еще раз:
[tex]x^2 - 12x + 36 \geqslant 4(x - 7)[/tex]
[tex]x^2 - 12x + 36 \geqslant 4x - 28[/tex]
[tex]x^2 - 16x + 64 \geqslant 0[/tex]
[tex](x - 8)^2 \geqslant 0[/tex]

Так как квадрат любого числа неотрицательный, то неравенство [tex](x - 8)^2 \geqslant 0[/tex] выполняется для всех действительных x.

Следовательно, исходное неравенство [tex]\sqrt{x - 4} - \sqrt{x - 7} \geqslant 1[/tex] верно для всех [tex]x \geqslant 7[/tex].