Решите систему уравнений:[tex] \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 2 \\ xy = 27[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Первое уравнение можно представить в виде:
[tex](\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})^3 = 2^3[/tex]

Разложим левую часть суммы кубов:
[tex]x + 3\sqrt[3]{x^2y}(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}) + y = 8[/tex]

Подставим в это уравнение значение для [tex]\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}[/tex]:
[tex]x + 3\sqrt[3]{x^2y} \cdot 2 + y = 8[/tex]

Учитывая, что [tex]xy = 27[/tex], получим:
[tex]x + 6\sqrt[3]{27x} + y = 8[/tex]
[tex]x + 6 \cdot 3\sqrt[3]{x} + y = 8[/tex]
[tex]x + 18\sqrt[3]{x} + y = 8[/tex]

Подставим в это уравнение значение для [tex]xy = 27[/tex]:
[tex]x + 18\sqrt[3]{x} + \frac{27}{x} = 8[/tex]

Умножим обе части на [tex]x[/tex]:
[tex]x^2 + 18x\sqrt[3]{x} + 27 = 8x[/tex]

Теперь имеем кубическое уравнение:
[tex]x^3 + 18x^2 + 27x - 8x^2 = 0[/tex]
[tex]x^3 + 10x^2 + 27x = 0[/tex]

Разложим на множители:
[tex]x(x^2 + 10x + 27) = 0[/tex]
[tex]x(x + 3)(x + 9) = 0[/tex]

Отсюда получаем:
[tex]x = 0, -3, -9[/tex]

Если подставить значения [tex]x[/tex] обратно в исходное уравнение и решить для [tex]y[/tex], мы получим соответственно:
[tex]x = 0; y = 27[/tex]
[tex]x = -3; y = -9[/tex]
[tex]x = -9; y = -3[/tex]

Итак, у нас есть три решения системы уравнения:
[tex]x = 0; y = 27[/tex]
[tex]x = -3; y = -9[/tex]
[tex]x = -9; y = -3[/tex]