В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите радиус вписанной окружности если периметр трапеции равна 54 см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус вписанной окружности равен r, а высота трапеции, опущенная из вершины, касающейся окружности, равна h.

Так как точка касания делит большую боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 12 см, то h = r + 3 см.

Также из условия задачи известно, что периметр трапеции равен 54 см, а значит сумма всех сторон равна 54 см. Пусть a и b - меньшая и большая основы трапеции.

Тогда a + b + 2h = 54

a + b + 2(r + 3) = 54

a + b + 2r + 6 = 54

a + b + 2r = 48

Также мы знаем, что площадь трапеции равна S = h(a+b)/2 и площадь трапеции также можно представить как S = r(a+b).

Из двух последних уравнений получаем:

r(a+b) = h(a+b)/2

r = h/2

Таким образом:

r = h/2 = (r+3)/2

2r = r + 3

r = 3

Ответ: радиус вписанной окружности равен 3 см.