Решите уравнение[tex] log_{tgx}(2 - ctgx) + 2 log_{(2 - ctgx)}\sqrt{tgx} = \frac{5}{2} [/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сначала преобразуем левую часть уравнения, используя свойства логарифмов:

[tex] log{tgx}(2 - ctgx) + 2 log{(2 - ctgx)}\sqrt{tgx} = log{tgx}(2 - ctgx) + log{(2 - ctgx)}(tgx)^2 = log{tgx}(2 - ctgx) + log{(2 - ctgx)}(tg^2x) = log{tgx}(2 - ctgx) + log{(2 - ctgx)}(1/cos^2x)[/tex]

[tex] = log{tgx}(2 - ctgx) + log{(2 - ctgx)}(1/cos^2x) = log{tgx}(2 - ctgx)\cdot\frac{1}{cos^2x} = log{tgx}(2 - ctgx)\cdot tg^2x[/tex]

Теперь уравнение примет вид:

[tex] log_{tgx}(2 - ctgx)\cdot tg^2x = \frac{5}{2} [/tex]

Преобразуем:

[tex] tg^2x\cdot log_{tgx}(2 - ctgx) = \frac{5}{2} [/tex]

[tex] (2 - ctgx)^{log_{tgx}(tg^2x)} = (2 - ctgx)^{\frac{5}{2}} [/tex]

[tex] (2 - ctgx)^{log_{tgx}(tg^2x)} = (2 - ctgx)^{\frac{5}{2}} [/tex]

Используем свойство степени на основе равенства:

[tex] log_{tgx}(tg^2x) = 2 [/tex]

Тогда:

[tex] tg^2x = tg^{2}[/tex]

И далее:

[tex] tgx = \pm\sqrt{2} [/tex]

Подставляем обратно в исходное уравнение и находим значения ctgx, когда tgx равен ±√2.