Докажем это неравенство.
Имеем: х≥а
Возводим обе части неравенства в куб:
х³≥а³
Теперь выразим левую часть через правую с помощью формулы a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²):
х³ - а³ = (х - а)(х² + ха + а²)
После преобразований неравенства получаем:
(х - а)(х² + ха + a²) ≥ (х - а)а²
После деления обеих частей на (x - a) (у нас оно положительно, так как x ≥ a), получаем:
х² + ха + a² ≥ а²
x² + xa ≥ 0
Это неравенство выполнено для всех действительных x и a, так как любое произведение второй и первой части неотрицательно.
Таким образом, если x≥a, то x³ - a³ ≥ хa² - x²а.
Докажем это неравенство.
Имеем: х≥а
Возводим обе части неравенства в куб:
х³≥а³
Теперь выразим левую часть через правую с помощью формулы a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²):
х³ - а³ = (х - а)(х² + ха + а²)
После преобразований неравенства получаем:
(х - а)(х² + ха + a²) ≥ (х - а)а²
После деления обеих частей на (x - a) (у нас оно положительно, так как x ≥ a), получаем:
х² + ха + a² ≥ а²
x² + xa ≥ 0
Это неравенство выполнено для всех действительных x и a, так как любое произведение второй и первой части неотрицательно.
Таким образом, если x≥a, то x³ - a³ ≥ хa² - x²а.