Величина x наугад выбирается из отрезка [0; 2], а величина y - из отрезка [0; 5]. Какова вероятность, что будет выполняться неравенство [tex]y \leq x^{2}[/tex]?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Неравенство [tex]y \leq x^{2}[/tex] описывает область внутри параболы y = x^2.

Площадь всего прямоугольника, образованного отрезками [0;2] и [0;5], равна 2 * 5 = 10.

Чтобы найти вероятность того, что выполнится неравенство [tex]y \leq x^{2}[/tex], нужно найти площадь области, ограниченной параболой и участком прямоугольника.

Из уравнения [tex]y = x^2[/tex] находим, что x = sqrt(y). Значит, область, в которой неравенство выполнится, ограничена сверху графиком параболы y = x^2.

Интегрируя функцию по y в пределах от 0 до 5, и по x от 0 до sqrt(5), мы найдем площадь этой области.

Интеграл:

∫[0;sqrt(5)]∫[0;5] dy dx = ∫[0;sqrt(5)] 5 dx = 5x |0;sqrt(2) = 5(sqrt(5)) - 0 = 5sqrt(5).

Теперь найдем вероятность:

P = (площадь этой области) / (площадь прямоугольника) = 5sqrt(5) / 10 = sqrt(5) / 2 ≈ 0.79.

Итак, вероятность того, что будет выполняться неравенство [tex]y \leq x^{2}[/tex] равна примерно 0.79.