Исследовать на неприрывность функцию в указанных точках. Определить вид точек разрыва.
[tex]y=\frac{x^{2}-4} {x^{2}-3x+2}\\ x_{1} = 2, x_{2} = 1, x_{3} = -2[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования на непрерывность функции в точках x_1 = 2, x_2 = 1, x_3 = -2 необходимо вычислить предел функции при приближении к этим точкам.

x_1 = 2:
lim x->2 (x^2 - 4) / (x^2 - 3x + 2)
Подставляем x = 2:
(2^2 - 4) / (2^2 - 32 + 2) = 0 / 0
Получили неопределенность вида 0 / 0, следовательно, можно применить правило Лопиталя:
lim x->2 ((2x) / (2x - 3)) / ((2x - 3) / (2x - 3)) = lim x→2 (2x) / (2x - 3)
Подставляем x = 2:
2 2 / (2 * 2 - 3) = 4 / 1 = 4
Таким образом, предел функции существует и равен 4, следовательно, функция непрерывна в точке x_1 = 2.

x_2 = 1:
lim x→1 (x^2 - 4) / (x^2 - 3x + 2)
Подставляем x = 1:
(1^2 - 4) / (1^2 - 3*1 + 2) = -3 / 0
Получили неопределенность вида -3 / 0, что означает бесконечный разрыв.

x_3 = -2:
lim x→-2 (x^2 - 4) / (x^2 - 3x + 2)
Подставляем x = -2:
((-2)^2 - 4) / ((-2)^2 - 3(-2) + 2) = 0 / 0
Получаем неопределенность вида 0 / 0, применим правило Лопиталя:
lim x→-2 ((2x) / (2x - 3)) / ((2x - 3) / (2x - 3)) = lim x→-2 (2x) / (2x - 3)
Подставляем x = -2:
2 (-2) / (2 * (-2) - 3) = -4 / (-7) = 4/7
Поэтому точка x_3=-2 является разрывом второго рода.

Итак, в точке x_1=2 функция непрерывна, в точке x_2=1 имеет бесконечный разрыв, а в точке x_3=-2 разрыв второго рода.