При каком значении параметра a система уравнений {x^2+y^2=9, y−x^2=a имеет одно решение?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы система уравнений имела одно решение, уравнения должны иметь единственную общую точку, то есть быть пересекающимися в одной точке.

У нас дано два уравнения:

Подставим уравнение (2) в уравнение (1) и найдем значение параметра a:

x^2 + (x^2 + a)^2 = 9
x^2 + x^4 + 2ax^2 + a^2 = 9
x^4 + 3x^2 + a^2 - 9 = 0

Это квадратное уравнение относительно x^2. Для того чтобы у него было одно решение, дискриминант должен быть равен нулю:

D = 3^2 - 4 1 (a^2 - 9) = 0
9 - 4a^2 + 36 = 0
4a^2 = 45
a^2 = 45 / 4
a = ± √(45) / 2
a = ± 3√5 / 2

Таким образом, при значениях параметра a равных ± 3√5 / 2 система уравнений имеет одно решение.