Доказать что при любых значения х а верно неравенство (3a-2)(a+2)<(1+2a)^2 с полным решением

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного неравенства, разберёмся с каждым его элементом:

(3a - 2)(a + 2) = 3a^2 + 6a - 2a - 4 = 3a^2 + 4a - 4

(1 + 2a)^2 = (1 + 2a)(1 + 2a) = 1 + 2a + 2a + 4a^2 = 1 + 4a + 4a^2

Теперь подставим полученные выражения обратно в неравенство:

3a^2 + 4a - 4 < 1 + 4a + 4a^2

Выразим неравенство, приведя подобные:

3a^2 + 4a - 4 < 1 + 4a + 4a^2
3a^2 - 4a^2 + 4a - 4 - 1 < 0
-a^2 + 4a - 5 < 0
a^2 - 4a + 5 > 0

Теперь найдём вершины параболы, заданной функцией a^2 - 4a + 5, используя формулу x = -b / 2a:

x = -(-4) / 2 * 1
x = 4 / 2
x = 2

Подставим x = 2 в функцию для нахождения значения функции в вершине:

a^2 - 4a + 5
2^2 - 4*2 + 5
4 - 8 + 5
1

Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, 1).

Теперь проанализируем знак функции вне и в пределах вершины.

Для a < 2:
a^2 - 4a + 5 < 0, так как вершина лежит выше оси Х.

Для a > 2:
a^2 - 4a + 5 > 0, так как вершина лежит ниже оси Х.

Таким образом, при любых значениях a неравенство (3a - 2)(a + 2) < (1 + 2a)^2 верно.