Решить предел, сведя его к первому замечательному lim(при х->0) sin^2 6x / 2x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала раскроем квадрат синуса:
sin^2 6x = (1 - cos 12x) / 2

Подставим это обратно в исходное выражение:
lim(при х->0) ((1 - cos 12x) / 2) / 2x = lim(при х->0) (1 - cos 12x) / 4x

Теперь раскроем cos 12x около точки 0:
cos 12x = 1 - (1/2)(12x)^2 + O(x^4) = 1 - 36x^2/2 + O(x^4) = 1 - 18x^2 + O(x^4)

Подставим это обратно в исходное выражение:
lim(при х->0) (1 - (1 - 18x^2)) / 4x = lim(при х->0) 18x^2 / 4x = lim(при х->0) 9x / 2 = 0

Ответ: lim(при х->0) sin^2 6x / 2x = 0.