Найти указанные неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием.
1) интеграл (x^5lnxdx);
2) интеграл (e^(1-4x^3)*x^2dx/

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Для нахождения неопределенного интеграла ∫(x^5lnxdx), воспользуемся методом интегрирования по частям. Пусть u = ln x, dv = x^5dx, тогда du = (1/x)dx, v = (1/6)x^6.

Тогда ∫(x^5lnxdx) = x^6lnx - ∫(x^6 (1/x)dx) = x^6lnx - 1/6∫x^5dx = x^6lnx - (1/6)(1/6)x^6 + C = x^6lnx - x^6/36 + C.

Дифференцируем результат: (x^6lnx - x^6/36)' = x^5lnx + 6x^5 - x^5/6 = x^5lnx + 5x^5, что совпадает с исходной функцией.

2) Для нахождения неопределенного интеграла ∫(e^(1-4x^3) * x^2dx), воспользуемся методом замены переменных. Проведем замену u = 1 - 4x^3, тогда du = -12x^2dx и x^2dx = -1/12du.

∫(e^(1-4x^3) * x^2dx) = -1/12∫e^udu = -1/12e^u + C = -1/12e^(1-4x^3) + C.

Дифференцируем результат: (-1/12e^(1-4x^3))' = -1/12 * (-12x^2)e^(1-4x^3) = x^2e^(1-4x^3), что совпадает с исходной функцией.